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數學:人的作品

數字是人造的嗎?
數字是人造的嗎? | Photo (detail): Curvabezier, © colourbox.de

克里斯多夫·德呂瑟(Christoph Drösser),數學家兼德國《時代》週報撰稿人,講述數位的建構,以及越來越被認可的用電腦類論證數學的問題。
 

作者: 克里斯多夫·德呂瑟(Christoph Drösser)

大部分的外行都錯誤地認為數學是一套板上釘釘的牢固準則,是永恆的真理。在其他以經驗主義為指導的自然學科中,一個全新的、與眾不同的觀點就可能推倒整棟學科大廈。與此相反,數學與其他學科相比是最牢靠的,根基最穩定的,也最能贏得科學家信任的學科。如果我們在中學學到的數學規律與定理被證明是錯誤的,將是不可想像的。因為這些定理至少有幾百年的歷史了,其客觀真實性幾乎不容置疑。它們漂浮於渺 小人類個體無限遠的高空之中。如果說在某個遙遠星球上的外星智慧生物也研究數學,那麼他們研究出的二項式定理和畢達哥拉斯定理與我們人類的也不會有太大出 入。他們的一加一也不會等於三,這應該是人人都接受的事實。

數字:人的作品

但是,當今的數學不是一本200年前就業已撰寫完畢、蓋棺定論的書。數學是一門活的學科,由有血有肉的人進行研究。人有可能犯錯,擁有的智慧也有限,人有著自己的激情和不同的審美觀。這些人類特性否會影響數學前進的方向?對於真與偽的問題的答案中是否包含人性的成分?

大部分數學家將自己視為公式與定理的發現者而非發明者。對於他們來說,數學架構存在於一個精神世界裡,獨立於時間與空間之外,存在於我們哺乳動物理 解力之外的更高級的神界。這聽上去像古希臘柏拉圖的觀點,他認為在物質世界之外還存在一個獨立的精神世界——但是,這種想法與現代自然科學是格格不入的。

 “上帝創造了自然數,其他都是人的作品。” 數學家克羅內克(Leopold Kronecker)1886年曾如是說,以此挑釁他的同行。“整個數學都是人的作品。”斯坦尼斯拉斯•迪昂(Stanislas Dehaene)的假設更為激進。這位來自法國的大腦研究專家和數學家相信,每個人都有對應數字的感官——“數學官”,這也正是他其中一部著作的書名。不 同的人和不同文化在數位方面的感官方式大相徑庭。

空洞無物的玻璃球遊戲?

如果用這種論據來逼問數學家的話,他們會狡黠地改變論證的層面,進行形式主義的詭辯。最後,他們可能會借助邏輯規律扯出一些抽象的象徵——就像空洞 無物的玻璃球遊戲。偉大的數學家大衛·希爾伯特(David Hilbert)堅信,以這種形式,所有數學問題最終都能通過是與非進行解答。時至今日,數學的所有內容幾乎都可以通過定理得以論證。然而,認為所有數學 假設都能夠被證明的這個人類的夢想止於庫爾特•哥德爾(Kurt Gödel)。在1931年他證明出: 每一個足夠複雜的數學體系都具備一套不可區分的定理。數學家甚至不能靠一己之力證明出這些定理的相容性——一個既可以被邏輯證明出是真命題而同時又可以被駁倒的定理。

對於我們常見的“街頭數學家”來說,這種細膩的哲學思想幾乎沒什麼意義。美國數學家羅伊本·赫爾斯(Reuben Hersh)曾經寫過,他的大部分同事在工作日時是“柏拉圖主義者”,週末則變成形式主義者。他們對一個接一個的定理進行分析,發現(發明)新的數學領 域,卻對已變得脆弱不堪的學科基礎沒有絲毫的關心。在這樣的數學家看來數學似乎無所不能。

對電腦論證的接受

然而,越來越多的跡象表明,人類不僅僅腳下的土地資源有限,頭頂的數學的天空也是有邊際的。在過去幾十年裡,學科領域內的新突破要麼是由偉大的數學 天才獨自完成——例如龐加萊(Poincaré)猜想就是由俄羅斯數學家格里高利·佩雷爾曼 (Grigorij Perelman)論證的——要麼是由數學家團隊共同實現的。這些論證中的大量內容對於很多人來說根本無法理解。

是不是有些東西其實太過複雜,以至於人們就無法明白呢?電腦論證數學這種方式卻越來越為人們所接受。電腦這個電子大腦能夠進行複雜的邏輯運算,最後 還可以證明論題的是與非。而在這一過程中,不是每一個單獨的論證步驟我們都可以理解。有人甚至致力於為了電腦調整整個數學的思想體系。

事實上,我們並沒有理由只把電腦當做檢驗人類思路正確與否的工具。電腦能夠獨立找到新的定理與規律。個體的局限將被跨越,甚至整個人類的視野都將被拓寬。電腦可以研發出一種我們甚至無法理解的“超人”數學。

人類屬於哺乳動物,我們的大腦不是生來就用以解決微分方程和進行複雜的邏輯論證的。我們的精神世界與貓和狗一樣具有局限性。美國數學家保羅·科恩 (Paul Cohen)說過:“數學理論中的大量問題,甚至是基本的問題都超越了我們人類能夠理解的範疇。”他的同行,英國數學家布瑞恩·大衛斯(Brian Davies)斷言,認為人類能夠逐步成功研究數學中未知領域,這種想法是錯誤的,他說:“我們做不到系統地在數學研究領域推進,然後得出所有正確的定理 ——我們只是找出那些在我們理解範圍之內存在的東西罷了。”
 

克里斯多夫·德呂瑟(Christoph Drösser)是一位數學家,同時是德國《時代》週報的科學專欄編輯。他主要為《時代》週報撰寫專欄文章《是真的麼?》(Stimmt’s?),在此欄 目裡他質疑我們日常的經驗是否屬實。德呂瑟出版了很多通俗專業書,例如暢銷書《數學誘騙者》(Der Mathematikverführer)。2015年8月德國埃德爾出版社(Verlag Edel Germany)出版了他的新書《我們德國人如何“運轉”》(Wie wir Deutschen ticken),將德國人心理狀態進行了圖表化的展示。