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焦點:數讀
兩條截然不同的數學道路

數學公式塗鴉
數學公式塗鴉 | Photo: Quinn Dombrowski, via flickr (CC BY 2.0)

歷史上,中國數學和歐洲數學都有輝煌的成就,但它們走過的卻是兩條截然不同的道路。若要歸根溯源的話,還得從公元前的事情開始說起。

作者: 顧森

記得我小時候學習負數時,老師說,負數的意思就是不但沒有,還欠人家。當時我就覺得納悶:這並不能成為負數存在的理由啊!我可以直接說我欠人家10塊錢, 幹嗎非要說我手裡有負10塊錢呢?這麼想來,承認有一種數比0更小,這確實怎麼看怎麼荒謬。或許正因為如此,直到17世紀,歐洲數學家們才慢慢體會到在數 學中引入負數的好處,並逐步接受負數的概念。

《九章算術》與負數的提出

然而,中國古代早就用起了負數。漢代數學著作《九章算術》的第八章《方程》裡介紹了一種用數陣來解決實際問題的方法。這種方法的基本思想就是利用對比來消 除未知的數量。例如,已知6頭牛、2頭豬、4隻羊的價錢,又已知6頭牛、3頭豬、9隻羊的價錢,兩者相比便能得出1頭豬和5隻羊的價錢。但是,如果我們已 知的是6頭牛、2頭豬、4隻羊的價錢,以及6頭牛、3頭豬、3隻羊的價錢,兩者相比會得出什麼和什麼的價錢呢?《九章算術》的處理辦法是,認為兩者相比就 會得出1頭豬和負1隻羊的價錢。《九章算術》系統地闡明了已有的數與負數相加相減時的規則,讓解題過程不但可以順利進行下去,而且最後得出的結果也是正確 的。

我們不知道《九章算術》的作者是怎樣想到這個概念的。《九章算術》裡面只講了方法,沒有更多的解釋和說明。人們究竟是如何接受這個新奇而荒誕的概念的呢?或許這背後的動機極其簡單:反正這個東西管用。在這種實用主義精神的支持下,中國成為了歷史上第一個提出負數的國家。

這種精神在《九章算術》裡還有很多體現。比方說,《九章算術》的這九章並非嚴格地按照所涉及的知識劃分,更多地則是按照題目的應用場景進行劃分。例如,第 一章《方田》主要講解田地面積的計算問題,第二章《粟米》則主要講解糧食交易的計算問題。另外,《九章算術》裡的所有理論都是在具體的題目中反映的。《九 章算術》裡共有246道題目,每道題目後面都附有答案,多數題目後面還附帶了演算法。所有題目全都取自實際生活,例如《方程》一章雖然專講數陣解題,但所 有講解全都是以豬牛、雞犬、禾稻等物為背景的。

從《九章算術》到《四元玉鑒》

《九章算術》毫無疑問是對中國數學發展影響最大的著作。後人的數學著作大多沿襲了其應用題問答式體例,或在其實用主義精神的影響下,在圖形丈量、數值計算、方程求解等實際應用領域都取得了的高深造詣。

元朝統一全國後,南北數學相互借鑒,元代數學家朱世傑遍讀南北數學著作,最終於1303年寫成《四元玉鑒》一書,讓中國傳統數學達到了巔峰。

《四元玉鑒》裡的題目有多複雜呢?來看兩個例子吧。《勾股測望》一章裡的第2題說的是:一座圓城的東南西北四面各有一城門,如果甲從南門出發繼續向南走 15步後站住,乙從東門出發繼續向東走40步後正好能看見甲,那麼圓城一周有多長?朱世傑根據題意列出了一個四次方程,並解得圓城半徑為60步,圓城一周 則約為1里。

《果垛疊藏》一章裡的第20題說的是:有一個三角形的果子垛,另有一個四角形的果子垛,兩垛共計211個果子;如果三角果垛最底層的果子數量跟四角果垛最 底層的果子數量相同,那麼兩個果子垛各有多少層?所謂三角果垛,就是各層果子數量分別為1, 3, 6, ...的四面體形垛子;所謂四角果垛,就是各層果子數量分別為1, 4, 9, ...的金字塔形垛子。為了解決這個問題,我們首先得知道1+3+6+...和1+4+9+...的公式,然後還得列出相應的二元三次方程組並求解。朱世 傑把這一切重新整理成了一個一元六次方程,並解得了正確的答案:三角果垛8層,四角果垛6層。

《幾何原本》與公理化方法

在《九章算術》成書之際,地中海沿岸也在誕生著另一種不一樣的數學。公元前300年左右,古希臘數學家歐幾里得(Euclid)系統地總結了當時的數學成 果,並以一種極其嚴謹的方式編成了《幾何原本》(Elements)一書。與《九章算術》不同的是,《幾何原本》裡列出的不是一個個實際的問題,而是一個 個抽象的結論,並且每一個結論後面都附有嚴格的證明。

為了證明一個圓最多只能和另一個圓交於兩點,我們首先需要定義,什麼是圓,什麼是相交,等等。在證明的時候,我們可能需要用到一些更基本的結論;而這些更 基本的結論,也都應該有它們自己的證明。當然,我們無法永無止境地去問為什麼,因而結論的正確性最終將會依賴於一些最基本的、無需證明的公理,例如“整體 大於它的部分”等等。這種由若干公理和定義出發,逐漸搭起整個數學系統的方法,就叫做“公理化方法”(axiomatic method)。《幾何原本》對數學發展最為深遠的影響,不是告訴了人們數學中的結論需要證明,而是向人們展示了如何構建一個嚴謹的數學系統。

正是基於這兩種不同的出發點,使中國與歐洲數學在發展之初就走上了迥異的道路。