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Zahlenspiele
Mathematisches Menschenwerk

Menschenwerk?
Menschenwerk? | Foto (detail): Curvabezier, © colourbox.de

Der Mathematiker und ZEIT-Autor Christoph Drösser über das Konstrukt der Zahlen und die zunehmende Akzeptanz von Computerbeweisen.

Von Christoph Drösser

Die Mathematik, so das herrschende Vorurteil der meisten Nicht-Mathematiker, ist ein Regelwerk von in Stein gemeißelten, ewigen Wahrheiten. Im Gegensatz zu den empirischen Naturwissenschaften, in denen eine einzige neue Beobachtung im Prinzip ein ganzes wissenschaftliches Gebäude zum Einsturz bringen kann, ist die Mathematik ein festes, niemals wankendes Fundament, auf das sich die anderen Wissenschaften verlassen können.Und tatsächlich ist es unvorstellbar, dass die mathematischen Regeln und Sätze, die wir in der Schule lernen, sich als falsch erweisen könnten. Sie sind alle mindestens ein paar hundert Jahre alt, und ihre objektive Wahrheit ist schwer zu bezweifeln. Sie schweben kilometerhoch über den Niederungen der einzelnen menschlichen Existenz. Wenn irgendwo auf einem fernen Stern intelligente Außerirdische existieren, die Mathematik betreiben, dann werden die binomische Formel oder der Satz des Pythagoras bei ihnen nicht anders aussehen als bei uns. Und eins plus eins wird für sie nicht drei sein, sollte man meinen.

Zahlen als Menschenwerk

Nun ist die Mathematik aber kein abgeschlossenes Buch, dessen letzte Zeilen irgendwann vor 200 Jahren geschrieben wurden. Es handelt sich um eine lebende Wissenschaft, die von Menschen aus Fleisch und Blut betrieben wird. Menschen, die sich irren können und die über begrenzte intellektuelle Ressourcen verfügen. Menschen mit Leidenschaften und ästhetischen Vorstellungen. Beeinflussen diese menschlichen Eigenschaften die Richtung, in der die Mathematik fortschreitet? Hat vielleicht sogar die Antwort auf die Frage, ob etwas wahr oder falsch ist, eine solche menschliche Komponente?

Die meisten Mathematiker betrachten sich nicht als Erfinder der Formeln und Gesetze, sondern als deren Entdecker. Für sie leben die mathematischen Strukturen in einer geistigen Welt, die unabhängig von Zeit und Raum und unserem kleinen Säugetierhirn in höheren Sphären existiert. Das klingt nach dem alten Griechen Platon, der eine eigenständige Ideenwelt hinter den Dingen postulierte – eine Vorstellung, mit der die moderne Naturwissenschaft nicht mehr viel anfangen kann.

„Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk“, sagte der Mathematiker Leopold Kronecker 1886 und provozierte damit seine Kollegen. „Sogar die ganzen Zahlen sind Menschenwerk“, postuliert Stanislas Dehaene noch radikaler. Der französische Hirnforscher und Mathematiker glaubt, dass jeder Mensch einen „Zahlensinn“ hat,­ so der Titel eines seiner Bücher. Was Menschen und auch ganze Kulturen dann mit diesem Sinn machen, nehme aber sehr unterschiedliche Formen an.

Glasperlenspiel ohne konkreten Inhalt?

Wenn man die Mathematiker mit solchen Argumenten in die Enge treibt, wechseln sie gern die Argumentationsebene und nehmen eine streng formalistische Position ein. Letztlich würden sie doch nur abstrakte Symbole nach den Regeln der Logik manipulieren, eine Art Glasperlenspiel ohne konkreten Inhalt. Der große David Hilbert war überzeugt, auf derart formale Weise ließen sich alle mathematischen Fragen letztlich mit Ja oder Nein beantworten. Inzwischen lässt sich tatsächlich die gesamte Mathematik auf ein paar Axiome der Mengenlehre gründen; aber den Traum von der Beweisbarkeit aller Aussagen beendete Kurt Gödel 1931, indem er bewies: Jedes hinreichend komplexe mathematische System besitzt unentscheidbare Sätze. Und nicht einmal ihre Widerspruchsfreiheit kann die Mathematik aus eigener Kraft beweisen – es könnte also sein, dass man irgendwann auf einen Satz stößt, der sich logisch beweisen und gleichzeitig widerlegen lässt.

Für den gewöhnlichen „Mathematiker auf der Straße“ haben diese philosophischen Feinheiten kaum eine Bedeutung. Die meisten seiner Kollegen seien „unter der Woche Platoniker, am Wochenende Formalisten“, schrieb einmal der amerikanische Mathematiker Reuben Hersh. Sie formulieren einen Satz nach dem anderen, entdecken (und erfinden) neue mathematische Gebiete, ohne sich um das ein wenig brüchig gewordene Fundament zu kümmern. Es scheint für den mathematischen Geist keine Beschränkung zu geben.

Akzeptanz von Computerbeweisen

Aber es mehren sich die Zeichen dafür, dass nicht nur der Boden bröselig, sondern auch der mathematische Himmel für den Menschen beschränkt sein könnte. Die großen Durchbrüche und Beweise der letzten Jahrzehnte wurden entweder von einzelnen Genies erbracht, die scheinbar weit voneinander entfernte mathematische Disziplinen zusammenführten – etwa der Beweis der Poincaréschen Vermutung durch den Russen Grigorij Perelman – , oder von größeren Mathematikerkollektiven. Viele dieser Beweise können von Einzelnen gar nicht mehr nachvollzogen werden.

Sind manche Dinge einfach zu komplex, als dass sie ein Mensch noch wirklich verstehen könnte? Mehr und mehr werden Computerbeweise akzeptiert – das Elektronenhirn führt komplexe logische Berechnungen durch und sagt am Ende „stimmt“ oder „stimmt nicht“, ohne dass der Mensch jeden einzelnen der Schritte nachvollziehen kann. Es gibt Bemühungen, das gesamte mathematische Gedankengebäude für den Computer zu formalisieren.

Und dann gäbe es eigentlich keinen Grund mehr, die Computer nur zur Überprüfung menschlicher Gedankengänge einzusetzen. Sie könnten eigenständig neue Sätze und Theoreme finden. Zusammenhänge, die dann endgültig den individuellen und kollektiven menschlichen Horizont überschreiten. Sie könnten eine Art „übermenschlicher“ Mathematik entwickeln, die wir nicht mehr verstehen.

Menschen sind Säugetiere, die Natur hat unser Gehirn nicht zur Lösung von Differentialgleichungen und zur Führung komplexer formaler Beweise entwickelt. Unser Geist ist ebenso beschränkt wie der eines Hundes oder Affen. Der amerikanische Mathematiker Paul Cohen etwa sagt, dass „die große Mehrheit sogar der elementaren Fragen in der Zahlentheorie weit außerhalb des Bereichs unserer Beweisführungen“ liege. Und sein britischer Kollege Brian Davies ist davon überzeugt, dass die Vorstellung, der Mensch würde Schritt für Schritt das unbekannte Land der Mathematik erforschen, verfehlt ist: „Wir gehen nicht systematisch vor und entschlüsseln alle richtigen Sätze – wir suchen uns diejenigen Dinge aus, die überhaupt im Bereich unserer Vorstellungskraft liegen.“
 

Christoph Drösser ist Mathematiker und Wissenschaftsredakteur der ZEIT. Für die Wochenzeitung verfasst er unter anderem die Kolumne „Stimmt’s?“, in der er den Wahrheitsgehalt von Alltagsweisheiten überprüft. Er hat viele Sachbücher veröffentlicht, zum Beispiel den Bestseller „Der Mathematikverführer“. Im Verlag Edel Germany ist im August 2015 sein Buch „Wie wir Deutschen ticken“ erschienen, eine Sammlung von Infografiken zur Befindlichkeit der Deutschen.

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