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Fokus: Zahlenspiele
Zwei völlig verschiedene Wege der Mathematik

Graffiti math
Graffiti math | Foto: Quinn Dombrowski, via flickr (CC BY 2.0)

Sowohl die chinesische als auch die westliche Mathematik erzielte im Laufe ihrer Geschichte glänzende Erfolge, doch sie entwickelten sich auf völlig unterschiedliche Art und Weise. Um die Ursprünge dieser Entwicklung ausfindig zu machen, müssen wir vorerst einen Blick in die vorchristliche Zeit werfen.

Von Gu Sen

Als ich klein war und in der Schule die Minuszahlen durchgenommen wurden, erklärte uns der Lehrer, eine Minuszahl bedeute nicht nur, dass nichts mehr da sei, sondern gleichzeitig auch, dass man jemandem etwas schuldig sei. Das wollte mir nicht in den Kopf: Dies konnte doch nicht der Grund für die Existenz von Minuszahlen sein! Ich könnte doch direkt sagen, dass ich jemandem zehn Yuan schulde, wozu denn noch behaupten, ich hielte minus zehn Yuan in der Hand? Aus diesem Blickwinkel schien mir die Vorstellung einer Zahl, die kleiner wäre als Null, völlig absurd. Möglicherweise hat die Tatsache, dass die europäischen Mathematiker erst im Laufe des 17. Jahrhunderts die Vorteile der Minuszahl in der Mathematik erkannten und allmählich zu akzeptieren begannen, mit ebendiesem Problem zu tun.

Die „Neun Kapitel der Mathematik“ und die Idee der Minuszahl

Im Gegensatz dazu war in China die Minuszahl schon seit alten Zeiten in Gebrauch. Im Han-zeitlichen (206 v. Chr. bis 220 n. Chr.) Standardwerk Neun Kapitel der Mathematik (九章算术) wird im 8. Kapitel mit dem Titel Gleichungen (方程) anhand von Zahlengruppierungen eine Methode vorgestellt, mit der konkrete Fragstellungen gelöst werden können. Der Grundgedanke dabei ist, dass eine unbekannte Menge anhand von Vergleichen ausfindig gemacht werden kann. Ein Beispiel: Wenn sowohl der Preis von 6 Rindern, 2 Schweinen und 4 Schafen, als auch der Preis von 6 Rindern, 3 Schweinen und 9 Schafen bekannt ist, dann können die Preise von einem Schwein und von 5 Schafen ausfindig gemacht werden. Was aber werden wir herausbekommen, wenn wir den Preis von 6 Rindern, 2 Schweinen und 4 Schafen mit dem Preis von 6 Rindern, 3 Schweinen und 3 Schafen vergleichen? Die Lösungsmethode in den Neun Kapiteln der Mathematik geht davon aus, dass sich in diesem Fall die Preise von einem Schwein und von minus einem Schaf errechnen lassen. Dazu werden die Regeln der Addition und Multiplikation der vorhandenen Zahlen und der Minuszahlen systematisch dargelegt, so dass der Rechenvorgang ungehindert abgewickelt und zum richtigen Resultat geführt werden kann.

Wir wissen nicht, wie der Autor der Neun Kapitel der Mathematik auf diese Idee kam. Denn dieses Werk stellt ausschließlich Methoden vor, ohne weitere Ausführungen oder Erklärungen beizufügen. Wie konnten die Leute damals wohl eine solch neuartige und absurde Idee akzeptieren? Vermutlich war die Motivation ganz simpel: Um was es sich auch immer handeln mochte, es erwies sich auf jeden Fall als äußerst nützlich. Dank diesem pragmatischen Geist wurde China schließlich zum ersten Land, das die Minuszahl einführte.

Dieser Haltung begegnen wir in den Neun Kapiteln der Mathematik auch an vielen weiteren Stellen. So sind beispielsweise die neun Kapitel nicht strikt nach dem anbelangten Wissen aufgeteilt, sondern vielmehr nach Anwendungsbereichen. Beispielsweise behandelt das 1. Kapitel mit dem Titel Berechnung der Felder (方田) vorwiegend die Flächenberechnung von Ackerböden. Das 2. Kapitel mit dem Titel Getreide bezieht sich auf Berechnungen beim Getreidehandel. Außerdem werden sämtliche Theorien in den Neun Kapiteln der Mathematik mithilfe konkreter Beispiele dargelegt. Das Werk enthält insgesamt 246 Fragestellungen, zu denen am Ende jeweils die Lösung angegeben ist. Den meisten Fragestellungen wird auch eine Methode zur Lösung beigefügt. Alle mathematischen Aufgaben sind dem realen Leben entnommen, so dass sogar im Kapitel Gleichungen (方程), das hauptsächlich Zahlengruppierungen vorstellt, alles anhand von Schweinen, Rindern, Hühnern, Hunden oder Reiskörnern und anderen Gegenständen erläutert wird.

Von den „Neun Kapiteln der Mathematik“ zum „Jadespiegel der Vier Ursprünge

“Die Neun Kapitel der Mathematik hatten zweifellos den größten Einfluss auf die Entwicklung der chinesischen Mathematik. Die meisten der späteren Schriften folgten der Methode, mathematische Konzepte durch Fragestellungen und Lösungen zu erklären. Vermutlich war es auch der Einfluss des praktischen Geistes der Neun Kapitel der Mathematik, der dazu führte, dass die chinesische Mathematik in praktischen Bereichen wie der grafischen Messung, der numerischen Berechnung und der Lösung von Gleichungen beachtliche Kenntnisse erzielte.

Nach der Reichseinigung durch die Yuan-Dynastie (1261–1368) begannen Mathematiker aus dem Norden und Süden Chinas voneinander zu lernen. So studierte der Mathematiker Zhu Shijie (朱世杰, 1249–1314) damals sämtliche mathematische Schriften aus Nord- und Südchina und verfasste im Jahr 1303 die Schrift Jadespiegel der Vier Ursprünge (Si Yuan Yujian, 四元玉鉴), welche die chinesische Mathematik an ihren Höhepunkt führen sollte.

Wie komplex waren die mathematischen Aufgaben in diesem Jadespiegel der Vier Ursprünge? Betrachten wir ein Beispiel: Im Kapitel Seitenberechnung im rechtwinkligen Dreieck (勾股测望) lautet die zweite Aufgabe: Wenn A bei einer Stadt, die von einer runden Stadtmauer mit vier Toren nach Norden, Süden, Osten und Westen umgeben ist, vom südlichen Stadttor aus 15 Schritte weiter nach Süden geht, während B vom östlichen Stadttor aus 40 Schritte weiter nach Osten geht, bis er A sehen kann, wie groß ist dann der Umfang der Stadtmauer? Um diese Aufgabe zu lösen, stellt Zhu Shijie eine Gleichung vierten Grades auf und kommt zum Ergebnis, dass der Radius der Stadtmauer 60 Schritte beträgt; ihr Umfang misst demnach genau eine chinesische Meile.

Im Kapitel Obsthaufen (果垛叠藏) lautet die 20. Aufgabe: Ein auf dreieckigem Grundriss angelegter Haufen Obst und ein auf rechteckigem Grundriss angelegter Haufen Obst zählen zusammengenommen 211 Früchte. Falls die Anzahl Früchte in der untersten Schicht beider Obsthaufen gleich ist, wie viele Schichten von Früchten weisen dann die beiden Obsthaufen auf? Beim dreieckig angelegten Haufen handelt es sich um eine Schichtung in Mengen von 1, 3, 6 et cetera, beim quadratisch angelegten Haufen handelt es sich um Schichten von 1, 4, 9 et cetera, so dass die Früchte pyramidenförmig übereinander angeordnet sind. Um diese Aufgabe zu lösen, müssen wir zuerst die Formeln 1+3+6+... sowie  1+4+9+... kennen, anschließend müssen wir die entsprechenden zwei kubischen Gleichungen aufstellen und lösen. Zhu Shijie ordnet das Ganze neu und erstellt daraus eine einzige Gleichung sechsten Grades. Damit kommt er auf die korrekte Antwort: Der dreieckige Obsthaufen zählt 8 Schichten, der quadratische Obsthaufen zählt 6 Schichten.

Euklids „Elemente“ und die Axiomatische Methode

Zur Entstehungszeit der Neun Kapitel der Mathematik entwickelte sich an den Ufern des Mittelmeers eine andere Art von Mathematik. Rund um 300 v. Chr. trug Euklid die mathematischen Erkenntnisse seiner Zeit systematisch zusammen und verfasste auf höchst akkurate Weise das Werk Die Elemente. Im Unterschied zu den Neun Kapiteln der Mathematik werden hier nicht praktische Fragestellungen aufgelistet, sondern abstrakte Schlüsse gezogen. Jeder Schlussfolgerung ist außerdem eine strenge Beweisführung beigefügt.

Um beispielsweise zu beweisen, dass ein Kreis sich höchstens an zwei Punkten mit einem anderen Kreis schneiden kann, müssen erst definiert werden, was ein Kreis ist, was ein Schnittpunkt ist et cetera Für diese Beweisführung werden vielleicht weitere noch grundlegendere Schlussfolgerungen benötigt, die ihrerseits wiederum auf eigenen Beweisführungen gründen. Da man nicht endlos nach einer Begründung weiterfragen kann, beruft sich die Korrektheit der Resultate zuletzt auf eine Reihe von Axiomen, welche nicht weiter bewiesen werden müssen, wie etwa die Aussage „Das Ganze ist größer als sein Teil“. Diese Methode, die von bestimmten Axiomen und Definitionen ausgeht, um damit Schritt für Schritt ein umfassendes mathematisches System aufzubauen, nennt sich die „Axiomatische Methode“.

Der größte Einfluss der Elemente auf die Entwicklung der Mathematik war nicht etwa die Idee, dass man Schlussfolgerungen beweisen sollte, sondern dass hier aufgezeigt wurde, auf welche Weise ein strenges mathematisches System konstruiert werden kann.

So führten zwei unterschiedliche Grundeinstellungen schließlich dazu, dass China und Europa in den Anfängen der Mathematik völlig verschiedene Wege beschritten.

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