数读 数学:人的作品

数字是人造的吗?
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克里斯托弗·德吕瑟(Christoph Drösser),数学家兼德国《时代》周报撰稿人,讲述数字的建构,以及越来越被认可的用计算机类论证数学的问题。

大部分的外行都错误地认为数学是一套板上钉钉的牢固准则,是永恒的真理。在其他以经验主义为指导的自然学科中,一个全新的、与众不同的观点就可能推倒整栋学科大厦。与此相反,数学与其他学科相比是最牢靠的,根基最稳定的,也最能赢得科学家信任的学科。如果我们在中学学到的数学规律与定理被证明是错误的,将是不可想象的。因为这些定理至少有几百年的历史了,其客观真实性几乎不容置疑。它们漂浮于渺 小人类个体无限远的高空之中。如果说在某个遥远星球上的外星智慧生物也研究数学,那么他们研究出的二项式定理和毕达哥拉斯定理与我们人类的也不会有太大出 入。他们的一加一也不会等于三,这应该是人人都接受的事实。

数字:人的作品

但是,当今的数学不是一本200年前就业已撰写完毕、盖棺定论的书。数学是一门活的学科,由有血有肉的人进行研究。人有可能犯错,拥有的智慧也有限,人有着自己的激情和不同的审美观。这些人类特性是否会影响数学前进的方向?对于真与伪的问题的答案中是否包含人性的成分?

大部分数学家将自己视为公式与定理的发现者而非发明者。对于他们来说,数学架构存在于一个精神世界里,独立于时间与空间之外,存在于我们哺乳动物理 解力之外的更高级的神界。这听上去像古希腊柏拉图的观点,他认为在物质世界之外还存在一个独立的精神世界——但是,这种想法与现代自然科学是格格不入的。

 “上帝创造了自然数,其他都是人的作品。” 数学家克罗内克(Leopold Kronecker)1886年曾如是说,以此挑衅他的同行。“整个数学都是人的作品。”斯坦尼斯拉斯•迪昂(Stanislas Dehaene)的假设更为激进。这位来自法国的大脑研究专家和数学家相信,每个人都有对应数字的感官——“数学官”,这也正是他其中一部著作的书名。不 同的人和不同文化在数字方面的感官方式大相径庭。

空洞无物的玻璃球游戏?

如果用这种论据来逼问数学家的话,他们会狡黠地改变论证的层面,进行形式主义的诡辩。最后,他们可能会借助逻辑规律扯出一些抽象的象征——就像空洞 无物的玻璃球游戏。伟大的数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)坚信,以这种形式,所有数学问题最终都能通过是与非进行解答。时至今日,数学的所有内容几乎都可以通过定理得以论证。然而,认为所有数学 假设都能够被证明的这个人类的梦想止于库尔特•哥德尔(Kurt Gödel)。在1931年他证明出: 每一个足够复杂的数学体系都具备一套不可区分的定理。数学家甚至不能靠一己之力证明出这些定理的相容性——一个既可以被逻辑证明出是真命题而同时又可以被驳倒的定理。

对于我们常见的“街头数学家”来说,这种细腻的哲学思想几乎没什么意义。美国数学家罗伊本·赫尔斯(Reuben Hersh)曾经写过,他的大部分同事在工作日时是“柏拉图主义者”,周末则变成形式主义者。他们对一个接一个的定理进行分析,发现(发明)新的数学领 域,却对已变得脆弱不堪的学科基础没有丝毫的关心。在这样的数学家看来数学似乎无所不能。

对计算机论证的接受

然而,越来越多的迹象表明,人类不仅仅脚下的土地资源有限,头顶的数学的天空也是有边际的。在过去几十年里,学科领域内的新突破要么是由伟大的数学 天才独自完成——例如庞加莱(Poincaré)猜想就是由俄罗斯数学家格里高利·佩雷尔曼 (Grigorij Perelman)论证的——要么是由数学家团队共同实现的。这些论证中的大量内容对于很多人来说根本无法理解。

是不是有些东西其实太过复杂,以至于人们就无法明白呢?计算机论证数学的这种方式却越来越为人们所接受。计算机这个电子大脑能够进行复杂的逻辑运 算,最后还可以证明论题的是与非。而在这一过程中,不是每一个单独的论证步骤我们都可以理解。有人甚至致力于为了计算机调整整个数学的思想体系。

事实上,我们并没有理由只把计算机当做检验人类思路正确与否的工具。计算机能够独立找到新的定理与规律。个体的局限将被跨越,甚至整个人类的视野都将被拓宽。电脑可以研发出一种我们甚至无法理解的“超人”数学。

人类属于哺乳动物,我们的大脑不是生来就用以解决微分方程和进行复杂的逻辑论证的。我们的精神世界与猫和狗一样具有局限性。美国数学家保罗·科恩 (Paul Cohen)说过:“数学理论中的大量问题,甚至是基本的问题都超越了我们人类能够理解的范畴。”他的同行,英国数学家布瑞恩·戴维斯(Brian Davies)断言,认为人类能够逐步成功研究数学中未知领域,这种想法是错误的,他说:“我们做不到系统地在数学研究领域推进,然后得出所有正确的定理 ——我们只是找出那些在我们理解范围之内存在的东西罢了。”
 

克里斯托弗·德吕瑟(Christoph Drösser)是一位数学家,同时是德国《时代》周报的科学专栏编辑。他主要为《时代》周报撰写专栏文章《是真的么?》(Stimmt’s?),在此栏 目里他质疑我们日常的经验是否属实。德吕瑟出版了很多通俗专业书,例如畅销书《数学诱骗者》(Der Mathematikverführer)。2015年8月德国埃德尔出版社(Verlag Edel Germany)出版了他的新书《我们德国人如何“运转”》(Wie wir Deutschen ticken),将德国人心理状态进行了图表化的展示。