焦点:数读 两条截然不同的数学道路

数学公式涂鸦
数学公式涂鸦 | Photo: Quinn Dombrowski, via flickr (CC BY 2.0)

历史上,中国数学和欧洲数学都有辉煌的成就,但它们走过的却是两条截然不同的道路。若要归根溯源的话,还得从公元前的事情开始说起。

记得我小时候学习负数时,老师说,负数的意思就是不但没有,还欠人家。当时我就觉得纳闷:这并不能成为负数存在的理由啊!我可以直接说我欠人家10块钱, 干吗非要说我手里有负10块钱呢?这么想来,承认有一种数比0更小,这确实怎么看怎么荒谬。或许正因为如此,直到17世纪,欧洲数学家们才慢慢体会到在数 学中引入负数的好处,并逐步接受负数的概念。

《九章算术》与负数的提出

然而,中国古代早就用起了负数。汉代数学著作《九章算术》的第八章《方程》里介绍了一种用数阵来解决实际问题的方法。这种方法的基本思想就是利用对比来消 除未知的数量。例如,已知6头牛、2头猪、4只羊的价钱,又已知6头牛、3头猪、9只羊的价钱,两者相比便能得出1头猪和5只羊的价钱。但是,如果我们已 知的是6头牛、2头猪、4只羊的价钱,以及6头牛、3头猪、3只羊的价钱,两者相比会得出什么和什么的价钱呢?《九章算术》的处理办法是,认为两者相比就 会得出1头猪和负1只羊的价钱。《九章算术》系统地阐明了已有的数与负数相加相减时的规则,让解题过程不但可以顺利进行下去,而且最后得出的结果也是正确 的。

我们不知道《九章算术》的作者是怎样想到这个概念的。《九章算术》里面只讲了方法,没有更多的解释和说明。人们究竟是如何接受这个新奇而荒诞的概念的呢?或许这背后的动机极其简单:反正这个东西管用。在这种实用主义精神的支持下,中国成为了历史上第一个提出负数的国家。

这种精神在《九章算术》里还有很多体现。比方说,《九章算术》的这九章并非严格地按照所涉及的知识划分,更多地则是按照题目的应用场景进行划分。例如,第 一章《方田》主要讲解田地面积的计算问题,第二章《粟米》则主要讲解粮食交易的计算问题。另外,《九章算术》里的所有理论都是在具体的题目中反映的。《九 章算术》里共有246道题目,每道题目后面都附有答案,多数题目后面还附带了算法。所有题目全都取自实际生活,例如《方程》一章虽然专讲数阵解题,但所有 讲解全都是以猪牛、鸡犬、禾稻等物为背景的。

从《九章算术》到《四元玉鉴》

《九章算术》毫无疑问是对中国数学发展影响最大的著作。后人的数学著作大多沿袭了其应用题问答式体例,或在其实用主义精神的影响下,在图形丈量、数值计算、方程求解等实际应用领域都取得了的高深造诣。

元朝统一全国后,南北数学相互借鉴,元代数学家朱世杰遍读南北数学著作,最终于1303年写成《四元玉鉴》一书,让中国传统数学达到了巅峰。

《四元玉鉴》里的题目有多复杂呢?来看两个例子吧。《勾股测望》一章里的第2题说的是:一座圆城的东南西北四面各有一城门,如果甲从南门出发继续向南走 15步后站住,乙从东门出发继续向东走40步后正好能看见甲,那么圆城一周有多长?朱世杰根据题意列出了一个四次方程,并解得圆城半径为60步,圆城一周 则约为1里。

《果垛叠藏》一章里的第20题说的是:有一个三角形的果子垛,另有一个四角形的果子垛,两垛共计211个果子;如果三角果垛最底层的果子数量跟四角果垛最 底层的果子数量相同,那么两个果子垛各有多少层?所谓三角果垛,就是各层果子数量分别为1, 3, 6, ...的四面体形垛子;所谓四角果垛,就是各层果子数量分别为1, 4, 9, ...的金字塔形垛子。为了解决这个问题,我们首先得知道1+3+6+...和1+4+9+...的公式,然后还得列出相应的二元三次方程组并求解。朱世 杰把这一切重新整理成了一个一元六次方程,并解得了正确的答案:三角果垛8层,四角果垛6层。

《几何原本》与公理化方法

在《九章算术》成书之际,地中海沿岸也在诞生着另一种不一样的数学。公元前300年左右,古希腊数学家欧几里得(Euclid)系统地总结了当时的数学成 果,并以一种极其严谨的方式编成了《几何原本》(Elements)一书。与《九章算术》不同的是,《几何原本》里列出的不是一个个实际的问题,而是一个 个抽象的结论,并且每一个结论后面都附有严格的证明。

为了证明一个圆最多只能和另一个圆交于两点,我们首先需要定义,什么是圆,什么是相交,等等。在证明的时候,我们可能需要用到一些更基本的结论;而这些更 基本的结论,也都应该有它们自己的证明。当然,我们无法永无止境地去问为什么,因而结论的正确性最终将会依赖于一些最基本的、无需证明的公理,例如“整体 大于它的部分”等等。这种由若干公理和定义出发,逐渐搭起整个数学系统的方法,就叫做“公理化方法”(axiomatic method)。《几何原本》对数学发展最为深远的影响,不是告诉了人们数学中的结论需要证明,而是向人们展示了如何构建一个严谨的数学系统。

正是基于这两种不同的出发点,使中国与欧洲数学在发展之初就走上了迥异的道路。