נולד בעיירה בוסקוביצה (כיום צ'כיה) למשפחה יהודית מסורתית. מגיל צעיר הכיר היטב את הטקסטים היהודיים והיה פעיל בתנועת הנוער הציונית. הוא למד אינדולוגיה באוניברסיטת קיל שבגרמניה וקיבל תואר דוקטור. עבודתו הייתה בנושא סנסקריט. הוא עבד כעוזר מחקר באקדמיה הפרוסית למדעים.
בשנת 1932 המוציא לאור זלמן שוקן העסיק אותו כעוזר המחקר של מרטין בובר כדי לקדם את המיזם של בובר, תרגום התנ"ך לגרמנית. בשנים אלו רכש שפיצר ידע רב בטיפוגרפיה ובעיצוב ספרים. החל משנת 1933 הוא עיצב ספרים עבור הוצאת הספרים שוקן בברלין, בין היתר את ספרי שוקן, סדרה של 83 ספרונים, שהביאה לקוראים את המיטב מהתרבות היהודית בעברית וביידיש ביחד עם הספרות הגרמנית. הספרונים התפרסמו בשנים 1933, עת עלה היטלר לשלטון בגרמניה, עד 1938, השנה שבה אילצו הנאצים את שוקן לסגור את הוצאת הספרים שלו.
לצד ספרוני שוקן פרסם שפיצר גם שירה יהודית מימי הביניים ואלמנכים. הוא עלה לארץ בשנת 1939 ושנה לאחר מכן ייסד את הוצאת הספרים תרשיש בירושלים. בהוצאת ספרים זו עיצב שפיצר במשך 40 שנה מעל למאה ספרים: ספרות מופת ממיטב הספרות הקלאסית האירופית והעברית המודרנית וטקסטים יהודיים מימי הביניים. כדי לשפר את איכות הדפסת הספרים ולבדוק את איכות סידור העמוד והטיפוגרפיה בספרים שהוציא לאור הקים שפיצר בשנת 1942 בירושלים בית יציקת אותיות ששימש גם הוצאות ספרים אחרות.
בשנים 1945 עד 1960 ניהל שפיצר גם את הוצאת הספרים של הסוכנות היהודית. כמו כן הוא עיצב כמה פרסומים חשובים של מוסד ביאליק, למשל את האנציקלופדיה יודאיקה המכובדת. שפיצר ייחס חשיבות רבה לשיפור איכותם הגרועה של סימני האותיות בעברית עם הגעתן לדפוס. לשם כך ייסד בשנת 1954 ביחד עם היינץ ואן קליף את "בית יציקת האותיות הירושלמי", בית היציקה הישראלי הראשון. שפיצר עיצב בעצמו כמה גופנים, דוגמת הצבי, רוממה ודויד.
*הביוגרפיות מבוססות על מחקרים וטקסטים מתוך הפרסום "כתבים ישנים-חדשים: עבודות טיפוגרפיות ומלאכת עיצוב הספרים של משה שפיצר, פרנציסקה ברוך והנרי פרידלנדר" של ארכיון הספרות הגרמנית במרבך, 2015.